JEE Main 2023 — Vector Algebra Question with Solution

Given,

$\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right|=\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right|$

Now squaring both side we get,

$\Rightarrow {\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right|}^2={\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right|}^2$

$\Rightarrow {\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{c}\right|}^2+2\left(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}\right)+2\left(\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}\right)+2\left(\overrightarrow{c}·\overrightarrow{a}\right)={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{b}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{c}\right|}^2+2\left(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}\right)-2\left(\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}\right)-2\left(\overrightarrow{c}·\overrightarrow{a}\right)$

$\Rightarrow 2\left(\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}\right)+2\left(\overrightarrow{c}·\overrightarrow{a}\right)=-2\left(\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}\right)+2\left(\overrightarrow{c}·\overrightarrow{a}\right)$

$\Rightarrow 4\left[\left(\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}\right)+\left(\overrightarrow{c}·\overrightarrow{a}\right)\right]=0$

Now here given $\overrightarrow{b}·\overrightarrow{c}=0$, so

$\overrightarrow{c}·\overrightarrow{a}=0$ which means $\overrightarrow{c} \& \overrightarrow{a}$ are perpendicular vector, so statement $\left(B\right)$ is false,

Now statement$\left(A\right): \left|\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{c}\right|\ge \left|\overrightarrow{a}\right|$

$\Rightarrow {\left|\overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{c}\right|}^2\ge {\left|\overrightarrow{a}\right|}^2$

$\Rightarrow {\left|\overrightarrow{a}\right|}^2+\lambda {\left|\overrightarrow{c}\right|}^2+2\left(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}\right)\ge {\left|\overrightarrow{a}\right|}^2$

$\Rightarrow \lambda {\left|\overrightarrow{c}\right|}^2+2\left(\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}\right)\ge 0$

$\Rightarrow \lambda {\left|\overrightarrow{c}\right|}^2\ge 0$

This is not always true, since $\lambda \in R$.

Hence, we can say that statement$\left(A\right)$ is true and statement $\left(B\right)$ is false.