JEE Main 2022 — Probability Question with Solution

$$P\left(\frac{E_1}{E_2}\right)=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{P(E_1\cap E_2)}{P(E_2)}=\frac{1}{2}$$

$$P\left(\frac{E_2}{E_1}\right)=\frac{3}{4}\Rightarrow \frac{P(E_2\cap E_1)}{P(E_1)}=\frac{3}{4}$$

$$P(E_1\cap E_2)=\frac{1}{8}$$

$$P(E_2)=\frac{1}{4},P(E_1)=\frac{1}{6}$$

(A) $$P(E_1\cap E_2)=\frac{1}{8}$$ and $$P(E_1).P(E_2)=\frac{1}{24}$$

$$\Rightarrow P(E_1\cap E_2)\ne P(E_1).P(E_2)$$

(B) $$P(E{}_1^{\prime }\cap E{}_2^{\prime })=1-P(E_1\cup E_2)$$

$$=1-\left[\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}\right]=\frac{17}{24}$$

$$P(E{}_1^{\prime })=\frac{3}{4}\Rightarrow P(E{}_1^{\prime })P(E_2)=\frac{3}{24}$$

$$\Rightarrow P(E{}_1^{\prime }\cap E{}_2^{\prime })\ne P(E{}_1^{\prime }).P(E_2)$$

(C) $$P(E_1\cap E{}_2^{\prime })=P(E_1)-P(E_1\cap E_2)$$

$$=\frac{1}{6}-\frac{1}{8}=\frac{1}{24}$$

$$P(E_1).P(E_2)=\frac{1}{24}$$

$$\Rightarrow P(E_1\cap E{}_2^{\prime })=P(E_1).P(E_2)$$

(D) $$P(E{}_1^{\prime }\cap E_2)=P(E_2)-P(E_1\cap E_2)$$

$$=\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$$

$$P(E_1)P(E_2)=\frac{1}{24}$$

$$\Rightarrow P(E{}_1^{\prime }\cap E_2)\ne P(E_1).P(E_2)$$