JEE Main 2022 — Mathematical Reasoning Question with Solution

Given $\left(p\wedge r\right)\iff \left(p\wedge \left(~q\right)\right)\equiv \left(~p\right)$

Assuming all option one by one,

Taking $r=p$

$p$	$q$	$~p$	$~q$	$p\wedge p$	$p\wedge ~q$	$\left(p\wedge r\right)\iff \left(p\wedge \left(~q\right)\right)$
$T$	$T$	$F$	$F$	$T$	$F$	$F$
$T$	$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$T$	$T$	$F$	$F$	$F$	$T$
$F$	$F$	$T$	$T$	$F$	$F$	$T$

Now taking $r=~p$

$p$	$q$	$~p$	$~q$	$p\wedge ~p$	$p\wedge ~q$	$\left(p\wedge r\right)\iff \left(p\wedge \left(~q\right)\right)$
$T$	$T$	$F$	$F$	$F$	$F$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$F$	$T$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$F$	$F$	$T$
$F$	$F$	$T$	$T$	$F$	$F$	$T$

Taking $r=q$

$p$	$q$	$~p$	$~q$	$p\wedge q$	$p\wedge ~q$	$\left(p\wedge r\right)\iff \left(p\wedge \left(~q\right)\right)$
$T$	$T$	$F$	$F$	$T$	$F$	$F$
$T$	$F$	$F$	$T$	$F$	$T$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$F$	$F$	$T$
$F$	$F$	$T$	$T$	$F$	$F$	$T$

So clear, $\left(p\wedge r\right)\iff \left(p\wedge \left(~q\right)\right)\equiv \left(~p\right)$