JEE Main 2024 — Definite Integration Question with Solution

\begin{array}{ll} \mathrm{f}(\mathrm{x})=a \mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}+b \mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{cx} & \mathrm{f}(0)=-1 \\\\ & \mathrm{a}+\mathrm{b}=-1 \\\\ \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=2 a \mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}+b \mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{c} & \mathrm{f}^{\prime}(\ln 2)=21 \\\\ & 8 \mathrm{a}+2 \mathrm{~b}+\mathrm{c}=21 \\\\ \int_\limits0^{\ln 4}\left(a \mathrm{e}^{2 \mathrm{x}}+b \mathrm{e}^{\mathrm{x}}\right) \mathrm{dx}=\frac{39}{2} & \end{array}

$$\begin{array}{rl}& {\left[\frac{{\mathrm{ae}}^{2\mathrm{x}}}{2}+{\mathrm{be}}^{\mathrm{x}}\right]}_0^{\ln 4}=\frac{39}{2}\Rightarrow 8\mathrm{a}+4\mathrm{b}-\frac{\mathrm{a}}{2}-\mathrm{b}=\frac{39}{2}\\ & \\ & 15a+6b=39\\ & \\ & 15a-6a-6=39\\ & \\ & 9\mathrm{a}=45\Rightarrow \mathrm{a}=5\\ & \\ & b=-6\\ & \\ & c=21-40+12=-7\\ & \\ & \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}-8\\ & \\ & |\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}|=8\\ & \end{array}$$